Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση
Το βιβλίο αυτό βρίσκεται σε μορφή PDF και μπορείτε να το κατεβάσετε.
Μια μικρή εισαγωγή:
Από την εμπειρία μου στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, διεπίστωσα ότι η διδασκαλία του μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης δεν πρέπει να εξαντλείται μόνο στο θεωρητικό επίπεδο. Για να κατανοήσει ο σπουδαστής μια αριθμητκή μέθοδο, θα πρέπει καταρχήν να γνωρίζει καλά τον αριθμητικό σκέψης του υπολογιστή και οπωσδήποτε να κατέχει μια γλώσσα προγραμματισμού, προκειμένου να εφαρμόσει στην πράξη την αριθμητική μέθοδο. Δηλαδή να αναπτύξει πρώτα την αριθμητική μέθοδο σε αλγόριθμο και μετά να αναπτύξει το αντίστοιχο πρόγραμμα, σε μια οποιαδήποτε γλώσσα.
Υπάρχουν βέβαια έτοιμα προγράμματα των αριθμητικών μεθόδων μέσα των οποίων, μπορεί ο καθένας να δίνει τα δεδομένα και να έχει τα αποτελέσματα. Αυτό όμως δεν ισχύει για όλες τις λύσεις των προβλημάτων. Μερικές φορές ο ίδιος ο χρήστης θα πρέπει να αναπτύξει τον προγραμματισμό προκειμένου να έχει ικανοποιητική απάντηση στο πρόβλημά του.
Αυτό το βιβλίο είναι καταρχάς εκπαιδευτικό και κατά δεύτερο λόγο είναι ένα καλό βοηθητικό εργαλείο για έναν προγραμματιστή που δεν ικανοποιείται από τα έτοιμα προγράμματα.
Περιέχει 100 περίπου προγράμματα, των πιο γνωστών αριθμητικών μεθόδων, ανεπτυγμένα στην απλή γλώσσα Basic και συγκεκριμένα στην GWBASIC, την οποία μπορεί να την κατεβάσει κανείς από το διαδίκτυο.
Τα προγράμματα καλύπτουν σχεδόν όλες τις υπάρχουσες αριθμητικές μεθόδους και έχουν ελεγχθεί ως προς την ορθότητα των αποτελεσμάτων.
Περιεχόμενα
1ο. Η αριθμητική του υπολογιστή
1.1 Τί είναι Αριθμητική Ανάλυση 13
1.2 Συστήματα αρίθμησης 15
1.3 Αριθμοί κινητής υποδιαστολής 20
1.4 Τύποι δεδομένων 25
1.5 Αποθήκευση ακεραίων αριθμών 26
1.6 Αποθήκευση κλασματικών αριθμών 29
1.7 Ασκήσεις 23
2ο. Σφάλματα
2.1 Εισαγωγικά 33
2.2 Μετάδοση σφαλμάτων 34
2.3 Απώλεια σημαντικών ψηφίων 37
2.4 Σφάλματα υπερχείλισης (overflow error) 40
2.5 Ασκήσεις 43
3ο. Μη γραμμικές εξισώσεις
3.1 Εισαγωγικά 47
3.2 Εντοπισμός των ριζών 47
3.3 Επαναληπτικές μέθοδοι (μέθοδοι σταθερού σημείου) 55
3.4 Θεωρητική εξέταση της σύγκλισης 58
3.5 Μέθοδος των Newton-Raphson 60
3.6 Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Newton-Raphson 61
3.7 Aνάλυση σφάλματος 62
3.8 Μέθοδος της χορδής 65
3.9 Ανάλυση σφάλματος 67
3.10 Μέθοδος της εσφαλμένης θέσης 68
3.11 Μέθοδος της διχοτόμησης 69
3.12 Ανάλυση σφάλματος 70
3.13 Σύγκριση των μεθόδων 73
3.14 Λύση πολυωνυμικών εξισώσεων 73
3.15 Μέθοδος Newton-Raphson 74
3.16 Ευστάθεια ριζών 79
3.17 Μέθοδος του Bairstow 81
3.18 Μη Γραμμικά Συστήματα Μέθοδος Newton-Raphson 87
3.19 Παραδείγματα και εφαρμογές 91
3.20 Ασκήσεις 94
Προγράμματα
Π301Εντοπισμός πραγματικών ριζών 48
Π302 Γραφική παράσταση συναρτήσεων 49
Π303 Μέθοδος Newton Raphson 64
Π304 Μέθοδος Secant ή χορδής 68
Π305 Μέθοδος Εσφαλμένης θέσης & Διχοτόμησης 72
Π306 Μέθοδος Newton Raphson για πολυωνυμικές εξισώσεις 78
Π307 Μέθοδος Bairstow για πολυωνυμικές εξισώσεις 84
Π308 Μέθοδος Newton Raphson για μη γραμμικά συστήματα 89
4ο. Γραμμική Αλγεβρα
4.1 Εισαγωγικά 97
4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 97
4.3 Οδήγηση 101
4.4 Aντιστροφή Πίνακα με τη Μέθοδο Gauss 111
4.5 Ανάλυση σφάλματος 116
4.6 Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων 117
4.7 Μέθοδος Απαλοιφής των Gauss-Jordan 118
4.8 Αντιστροφή Πίνακα-Μέθοδος Gauss-Jordan 121
4.9 Μέθοδος Cholesky 123
4.10 Μέθοδος Jacobi 126
4.11 Μέθοδος των Gauss-Seidel 127
4.12 Μέθοδος της Διαδοχικής Υπερχαλάρωσης 131
4.13 Γραμμικά Μιγαδικά Συστήματα 134
Προγράμματα
Π401 Oρίζουσα ενός πίνακα με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss μερική οδήγηση 105
Π402 Γραμμικά Συστήματα Μέθοδος απαλοιφής του Gauss μερική οδήγηση 107
Π402A Λύση τριδιαγώνιου γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss 108
Π403 Γραμμικά Συστήματα Μέθοδος απαλοιφής του Gauss Mε ολική οδήγηση 109
Π404 Αντιστροφή πίνακα μέθοδος απαλοιφής του Gauss μερική οδήγηση 112
Π405 Αντιστροφή πίνακα μέθοδος απαλοιφής του Gauss με πλήρη οδήγηση 114
Π406 Γραμμικά Συστήματα Μέθοδος Gauss-Jordan με μερική οδήγηση 119
Π407 Αντίστροφος πίνακας Με τη μέθοδο των Gauss-Jordan με μερική οδήγηση 122
Π408 Μέθοδος του Cholesky Α = Θετικά ορισμένος και συμμετρικός 125
Π409 Μέθοδος Jacobi για γραμμικά συστήματα 128
Π410 Μέθοδος Gauss - Seidel για γραμμικά συστήματα 129
Π411 Μέθοδος της Διαδοχικής υπερχαλάρωσης για γραμμικά συστήματα 133
Π412 Γραμμικά συστήματα με μιγαδικούς συντελεστές 135
5ο. Ιδιοτιμές
5.1 Εισαγωγικά 139
5.2 Μέθοδος των Δυνάμεων 140
5.3 Μέθοδος Jacobi 143
5.4 Μέθοδος QR 147
5.5 Επαναληπτικές μέθοδοι 154
5.6 Μέθοδος Jacobi 154
5.7 Κριτήριο σύγκλισης 156
5.8 Ασκήσεις 158
Προγράμματα
Π513 Μέθοδος των Δυνάμεων για ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Συμμετρικών Πινάκων 1142
Π514 Μέθοδος Jacobi για ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Συμμετρικών Πινάκων 145
Π515 Μέθοδος QR 149
6ο. Προσέγγιση Συναρτήσεων
6.1 Εισαγωγικά 159
6.2 Παρεμβολή 159
6.3 Γραμμική παρεμβολή 160
6.4 Πολυωνυμική παρεμβολή 161
6.5 Μέθοδος των Διηρημένων Διαφορών 166
6.6 Σφάλμα πολυωνυμικής παρεμβολής 170
6.7 Παρεμβολή με Συναρτήσεις Splines 172
6.8 Ασκήσεις 177
Προγράμματα
Π601 Παρεμβολή Lagrange 165
Π602 Μέθοδος Διηρημένων Διαφορών 167
Π603 Μέθοδος Διηρημένων Διαφορών υπολογισμός σφάλματος 169
Π604 Παρεμβολή κυβικών συναρτήσεων splines 172
7ο. Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων
7.1 Εισαγωγικά 179
7.2 Προσαρμογή Ευθείας Γραμμής 181
7.3 Προσαρμογή Λογαριθμικής Καμπύλης 182
7.4 Πολυωνυμική Προσαρμογή 186
7.5 Προσαρμογή με Ορθογώνια Πολυώνυμα 189
7.6 Προσαρμογή με Πολυώνυμα Chebyshev 189
7.7 Ορθωγόνια Πολυώνυμα με Τυχαία Σημεία 192
7.8 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 195
7.9 Προσέγγιση με Ρητές Συναρτήσεις 199
7.10 Ασκήσεις 207
Προγράμματα:
Μεθόδου Ελαχίστων Τετραγώνων
Π705 Προσαρμογή σε:
1. Ευθεία γραμμή y=Ax+B 183
2. Δυναμοκαμπύλη y=ax^b 183
3. Εκθετική καμπύλη y=aexp(bx) 183
4. Λογαριθμική καμπύλη y=a+bln(x) 183
Π706 Πολυωνυμική προσαρμογή 187
Π707 Πολυωνυμική Προσέγγιση Ορθογώνια Πολυώνυμα Chebyshev 191
Π708 Ορθογώνια Πολυώνυμα με αυθαίρετα σημεία 193
Π709 Προσαρμογή Τριγωνομετρικής Συνάρτησης Πεπερασμένη Σειρά Furier 197
Π710 Προσέγγιση με ρητή συνάρτηση (Pade approximation) 201
Π711 Προσέγγιση με δυό ρητές συναρτήσεις 203
8ο. Αριθμητική Ολοκλήρωση
8.1 Εισαγωγικά 209
8.2 Μέθοδοι Newton-Cotes 209
8.3 Κανόνας του Τραπεζίου 210
8.4 Ανάλυση σφάλματος 211
8.5 Κανόνας του Simpson 214
8.6 Ολοκλήρωση κατά Romberg 218
8.7 Ολοκλήρωση κατά Gaus 221
8.8 Σύνθετη μέθοδος του Gauss 226
8.9 Μέθοδος των Gauss-Laquerre 229
8.10 Σύνθετη μέθοδος Gauss-Laquerre 231
8.11 Μέθοδος Gauss-Hermite 234
8.12 Ασκήσεις 238
Προγράμματα
Π801 Κανόνας του Τραπεζίου 182
Π802 Κανόνας του Τραπεζίου με ακρίβεια στο αποτέλεσμα 184
Π803 Κανόνας του Simpson 186
Π804 Κανόνας του Simpson με ακρίβεια στο αποτέλεσμα 187
Π805 Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά Romberg 190
Π806 Απλή μέθοδος Gauss με πεπερασμένα άκρα ολοκλήρωσης πολυώνυμα Legendre 195
Π807 Σύνθετη μέθοδος του Gauss με πεπερασμένα άκρα ολοκλήρωσης 198
Π808 Μέθοδος Gauss-Laguerre 200
Π809 Σύνθετη μέθοδος Gauss-Laguerre 202
Π810 Μέθοδος Gauss-Hermite 205
Π811 Σύνθετη μέθοδος Gauss-Laquerre 207
9ο. Διαφορικές εξισώσεις
9.1 Εισαγωγικά 241
9.2 Μέθοδος του Euler 242
9.2 Ανάλυση σφάλματος 245
9.3 Μέθοδος του Taylor 246
9.4 Μέθοδοι Runge-Kutta 248
9.5 Πολυβηματικές μέθοδοι 254
9.6 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις 255
9.7 Πρόβλεψη-Διόρθωση 258
9.7.1 Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις 258
9.7.2 Μέθοδος Πρόβλεψης-Διόρθωσης του Milne 259
9.7.3 Μέθοδος Πρόβλεψης-Διόρθωσης του Adams 259
9.8 Μέθοδος του Hamming 263
9.9 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 265
9.10 Μέθοδος του Adams 268
9.11 Διαφορικές εξισώσεις 4ης τάξης 270
9.12 Προβλήματα συνοριακών τιμών 273
9.13 Αναγωγή σε πρόβλημα αρχικών τιμών 277
9.12 Μέθοδος του Numerov 280
Προγράμματα
Π901 Μέθοδος του Euler 244
Π902 Μέθοδος του Taylor 248
Π903 Μέθοδος Runge-Kutta 2ης τάξης 250
Π904 Μέθοδος Runge-Kutta 4ης τάξης 252
Π905 Μέθοδοι Runge-Kutta μεταβλητού βήματος 253
Π906 Μέθοδος του Τραπεζίου 256
P907 Μέθοδος του Milne ή Simpson 257
Π908 Μέθοδος Πρόβλεψης-Διόρθωσης του Milne 260
Π909 Μέθοδος Πρόβλεωης-Διόρθωσης Adams 262
Π910 Μέθοδος Πρόβλεψης-Διόρθωσης του Hamming 264
Π911 Μέθοδος Runge-Kutta 4ης τάξης 267
Π912 Μέθοδος του Adams 269
Π913 Μέθοδος Runge-Kutta 272
Π914 Μέθοδος του ταινιωτού πίνακα 275
Π915 Μέθοδος Runge-Kutta 4ης τάξης 278
Π916 Μέθοδος του Numerov 281
Π917 Μέθοδος του Numerov με αναγωγή σε πρόβλημα αρχικών τιμών 284
10ο. Ειδικές Συναρτήσεις
10.1 Εισαγωγικά 287
10.2 Oλοκλήρωμα του ημιτόνου 287
10.3 Ολοκλήρωμα του συνημιτόνου 289
10.4 Η συνάρτηση σφάλματος 290
10.5 Εκθετικά ολοκληρώματα 293
10.6 Πλήρη ελλειπτικά ολοκληρώματα 298
10.7 Μη πλήρη ελλειπτικά ολοκληρώματα 299
10.8 Γάμμα και Ελλειπτική Γάμμα συνάρτηση 302
10.9 Οι συναρτήσεις Bessel 306
10.10 Σφαιρικές συναρτήσεις Bessel 313
10.11 Συναρτήσεις Airy 317
Προγράμματα
Π101 Ολοκλήρωμα του Ημιτόνου 288
Π102 Ολοκλήρωμα του Συνημιτόνου 289
Π103 Συνάρτηση Σφάλματος 291
Π104 Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων Ημιτόνου, Συνημιτόνου και Συνάρτησης σφάλματος με ολοκλήρωση κατά Gauss 291
Π105 Εκθετικό ολοκλήρωμα Ei(x) 295
Π106 Εκθετικό ολολήρωμα E1(x) 295
P107 Εκθετικό ολοκλήρωμα Ε1(x) με τη Σύνθετη μέθοδο Gauss-Laquerre 296
Π108 Πλήρη Ελειπτικά Ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους 299
Π109 Μη πλήρη Ελειπτικά ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους με τη σύνθετο μέθοδο Gauss-Laquerre 300
Π110Α Γάμμα Συνάρτηση 303
Π110Β Ελλειπτική Γάμα Συνάρτηση 305
Π111 Συναρτήσεις Bessel 1oυ και 2ου είδους 308
Π112 Συναρτήσεις Bessel 1oυ και 2ου είδους με τη μέθοδο Gauss-Laguerre 309
Π113 Συναρτήσεις Bessel 1ου είδους όπου ν ακέραιος 312
Π114 Σφαιρικές συναρτήσεις Bessel και Neummann 314
Π115 Συναρτήσεις Airy και παράγωγοι 319
11ο Στατιστική
11.1 Χρήσιμα προγράμματα 323
α) Διάταξη αριθμών 323
β) Πολλαπλασιασμός πινάκων 327
γ) Πρώτοι Αριθμοί 330
11.2 Μέση τιμή και Τυπική Απόκλιση 333
11.3 Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών 337
α) Διωνυμική κατανομή 339
β) Αρνητική διωνυμική κατανομή 340
γ) Υπεργεωμετρική κατανομή 342
δ) Κατανομή Poisson 344
ε) Κανονική κατανομή 345
στ) x2 – Κατανομή 347
ζ) Κατανομή t του Student 350
η) F-κατανομή 353
Προγράμματα
Π001 Αναδιάταξη αριθμών κατά αύξουσα σειρά 324
Π002 Αναδιάταξη των σημείων x(i) με με ταυτόχρονη αλλαγή των τιμών y(i) 325
Π003 Πολλαπλασιασμός πινάκων με αποθήκευση σε διδιάστατη μορφή 328
Π004 Πολλαπλασιασμός πινάκων με αποθήκευση σε μονοδιάστατη μορφή 329
Π005 Εύρεση των πρώτων αριθμών με τη μέθοδο κόσκινο του Ερατοσθένη 331
Π006 Ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων πρώτων αριθμών 332
Π007 Υπολογισμός Αριθμητικής, Αρμονικής, Γεωμετρικής μέσης τιμής, Τυπικής απόκλισης και τυπικού σφάλματος 335
Π008 Υπολογισμός Αριθμητικής μέσης τιμής Τυπικής απόκλισης και τυπικού σφάλματος όταν οι παρατηρησεις x(j), j=1,2,..,ν συμβαίνουν με συχνότητα f(j), j=1,...,ν 336
Π009 Διωνυμική κατανομή 340
Π010 Αρνητική Διωνυμική κατανομή 341
Π011 Υπεργεωμετρική κατανομή 343
Π012 Κατανομή Poisson 344
Π013 Κανονική ή gaussian κατανομή 346
Π014 x²-Kατανομή 348
Π015 Κατανομή t του Student 351
Π016 F - κατανομή 354